在数学中，空间向量是描述三维空间中方向和大小的重要工具。当我们提到“空间向量相乘”时，实际上需要区分两种常见的运算方式：点积（内积）与叉积（外积）。这两种运算虽然都涉及两个向量，但它们的意义和结果完全不同。
一、点积（内积）
点积的结果是一个标量，表示的是两个向量之间的相似程度或投影关系。其计算公式为：
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta
\]
其中，\(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 是两个三维向量，\(|\mathbf{a}|\) 和 \(|\mathbf{b}|\) 分别是它们的模长，而 \(\theta\) 是这两个向量之间的夹角。如果已知向量的分量形式，例如 \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)\)，\(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)\)，则点积也可以通过坐标直接计算：
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
\]
点积的应用非常广泛，比如判断两个向量是否垂直（当点积为零时），或者用于计算一个向量在另一个向量上的投影长度。
二、叉积（外积）
叉积的结果是一个新的向量，它垂直于原始的两个向量所在的平面，并且其方向遵循右手定则。叉积的大小等于这两个向量所围成的平行四边形的面积。其计算公式为：
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
\]
展开后得到：
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\left( a_2b_3 - a_3b_2 \right)\mathbf{i} -
\left( a_1b_3 - a_3b_1 \right)\mathbf{j} +
\left( a_1b_2 - a_2b_1 \right)\mathbf{k}
\]
这里，\(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 分别代表单位向量 \((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\)。
叉积的一个重要性质是它与点积不同，不满足交换律，而是满足反交换律：\(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})\)。此外，叉积的结果向量的模长等于两向量模长的乘积与夹角正弦值的乘积，即：
\[
|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin\theta
\]
叉积常用于物理学中的力矩计算、磁场强度计算等领域，同时也是计算机图形学中处理三维几何变换的重要工具。
总结
空间向量的“相乘”实际上包含了点积和叉积两种不同的运算方式，每种都有独特的应用场景和意义。理解这两种运算的本质及其区别，对于深入学习线性代数、物理学以及工程学等学科具有重要意义。希望本文能够帮助读者更好地掌握这一基础但重要的数学知识！
