【等差数列通项公式】在数学中，等差数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的差是一个常数。这个常数称为“公差”，通常用字母 $ d $ 表示。等差数列的通项公式是用于快速求出数列中任意一项数值的重要工具。
一、等差数列的基本概念
等差数列是由若干个数按一定顺序排列而成，其中任意两个相邻的数之间的差是固定的。例如：
- 数列：3, 5, 7, 9, 11
- 公差 $ d = 2 $
在这个数列中，第1项是3，第2项是5，第3项是7，依此类推。
二、等差数列通项公式
等差数列的第 $ n $ 项（即第 $ n $ 个数）可以用以下公式表示：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ a_n $ 是第 $ n $ 项的值；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ d $ 是公差；
- $ n $ 是项数。
三、通项公式的应用举例
下面通过几个例子说明如何使用该公式计算等差数列中的某一项。
| 项数 $ n $ | 首项 $ a_1 $ | 公差 $ d $ | 第 $ n $ 项 $ a_n $ |
| 1 | 3 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 2 | 5 |
| 3 | 3 | 2 | 7 |
| 4 | 3 | 2 | 9 |
| 5 | 3 | 2 | 11 |
根据公式计算第5项：
$$
a_5 = 3 + (5 - 1) \times 2 = 3 + 8 = 11
$$
四、通项公式的实际意义
通项公式可以帮助我们快速找到等差数列中任意位置的数值，而不需要逐项列出整个数列。它在许多实际问题中都有广泛应用，如：
- 计算工资增长；
- 分析时间间隔；
- 等等。
五、总结
等差数列的通项公式是解决相关问题的核心工具，掌握这一公式有助于提高解题效率和理解数列的规律性。通过表格形式展示不同项数下的结果，可以更直观地观察数列的变化趋势。
附：通项公式小结表
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 等差数列通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | 用于计算第 $ n $ 项的值 |
| 首项 | $ a_1 $ | 数列的第一个数 |
| 公差 | $ d $ | 相邻两项的差 |
| 项数 | $ n $ | 指的是要求的项的位置 |
