首先回顾一下复数的基本概念。一个复数 \( z \) 可以表示为 \( z = x + yi \)，其中 \( x, y \in \mathbb{R} \)，且 \( i^2 = -1 \)。对于复数 \( z \)，其模长定义为 \( |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \)。

接下来我们引入复数形式下的正弦函数。复数域上的正弦函数可以写成以下形式：

\[

\sin z = \sin(x + yi) = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y,

\]

这里利用了欧拉公式 \( e^{iz} = \cos z + i \sin z \) 以及双曲函数的定义。

那么问题来了：如何求解这个复数形式下的正弦函数的模长呢？根据模长的定义，我们需要计算：

\[

|\sin z|^2 = (\text{实部})^2 + (\text{虚部})^2.

\]

将上面的表达式代入后得到：

\[

|\sin z|^2 = (\sin x \cosh y)^2 + (\cos x \sinh y)^2.

\]

进一步整理可得：

\[

|\sin z|^2 = \sin^2 x \cosh^2 y + \cos^2 x \sinh^2 y.

\]

注意到三角恒等式 \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)，我们可以将其应用到这里：

\[

|\sin z|^2 = \sin^2 x (\cosh^2 y - 1) + \cosh^2 y.

\]

再结合双曲函数的另一个重要恒等式 \( \cosh^2 y - \sinh^2 y = 1 \)，最终可以简化为：

\[

|\sin z|^2 = \sin^2 x \sinh^2 y + \cosh^2 y.

\]

因此，复数形式下的正弦函数的模长公式为：

\[

|\sin z| = \sqrt{\sin^2 x \sinh^2 y + \cosh^2 y}.

\]

这就是我们在复数域上讨论的正弦函数模长的具体表达式。通过这一推导过程，不仅加深了对复数和三角函数之间关系的理解，同时也展示了数学分析的强大工具——即通过分解与组合的方式解决问题的能力。希望这篇简短的文章能够激发大家对复变函数的兴趣！