【三角函数的基本公式】在数学中，三角函数是研究角度与边长之间关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握三角函数的基本公式对于理解和应用这些知识至关重要。以下是对三角函数基本公式的总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本定义
三角函数通常定义在一个直角三角形或单位圆上，常见的六个基本三角函数为：
- 正弦（sin）
- 余弦（cos）
- 正切（tan）
- 余切（cot）
- 正割（sec）
- 余割（csc）
它们的定义如下（设角为θ）：
| 函数名称 | 定义式 |
| sinθ | 对边 / 斜边 |
| cosθ | 邻边 / 斜边 |
| tanθ | 对边 / 邻边 |
| cotθ | 邻边 / 对边 |
| secθ | 斜边 / 邻边 |
| cscθ | 斜边 / 对边 |
二、基本恒等式
三角函数之间存在许多重要的恒等关系，以下是常用的几个：
1. 平方恒等式
- $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $
- $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $
- $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $
2. 倒数关系
- $ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} $
- $ \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} $
- $ \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $
3. 商数关系
- $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $
- $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $
三、诱导公式（角度变换）
当角度发生变化时，三角函数的值也会相应变化，以下是常见角度变换的公式：
| 角度变换 | 公式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi - \theta) $ | $ -\tan\theta $ |
四、和差角公式
用于计算两个角的和或差的三角函数值：
| 公式 | 表达式 |
| $ \sin(\alpha \pm \beta) $ | $ \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta $ |
| $ \cos(\alpha \pm \beta) $ | $ \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta $ |
| $ \tan(\alpha \pm \beta) $ | $ \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} $ |
五、倍角与半角公式
用于计算一个角的两倍或一半的三角函数值：
| 公式 | 表达式 |
| $ \sin(2\theta) $ | $ 2\sin\theta\cos\theta $ |
| $ \cos(2\theta) $ | $ \cos^2\theta - \sin^2\theta $ |
| $ \tan(2\theta) $ | $ \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
| $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) $ | $ \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) $ | $ \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
六、总结表格
| 类别 | 公式 |
| 基本定义 | $ \sin\theta = \frac{对边}{斜边}, \cos\theta = \frac{邻边}{斜边}, \tan\theta = \frac{对边}{邻边} $ |
| 平方恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $, $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $, $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
| 倒数关系 | $ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta}, \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta}, \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $ |
| 商数关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ |
| 诱导公式 | $ \sin(-\theta) = -\sin\theta, \cos(-\theta) = \cos\theta, \tan(-\theta) = -\tan\theta $ |
| 和差角公式 | $ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta $, 等等 |
| 倍角公式 | $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta $, $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta $, 等等 |
| 半角公式 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $, 等等 |
通过掌握以上基本公式，可以更高效地解决与三角函数相关的数学问题，同时也能更好地理解其在实际生活中的应用。
