【分布函数怎么求】在概率论与数理统计中，分布函数是描述随机变量取值概率分布的重要工具。它能够帮助我们了解随机变量落在某个区间内的概率大小。本文将总结如何求解分布函数，并以表格形式清晰展示不同情况下的计算方法。
一、什么是分布函数？
设 $ X $ 是一个随机变量，其分布函数 $ F(x) $ 定义为：
$$
F(x) = P(X \leq x)
$$
即：对于任意实数 $ x $，分布函数表示随机变量 $ X $ 小于或等于 $ x $ 的概率。
二、分布函数的性质
| 性质 | 描述 |
| 1 | 单调不减性：若 $ x_1 < x_2 $，则 $ F(x_1) \leq F(x_2) $ |
| 2 | 极限性：$ \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 $，$ \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 $ |
| 3 | 右连续性：$ \lim_{x \to a^+} F(x) = F(a) $ |
三、如何求分布函数？
根据随机变量的类型（离散型或连续型），求解分布函数的方法略有不同。
1. 离散型随机变量
对于离散型随机变量 $ X $，其分布函数 $ F(x) $ 是累积概率函数，即对所有小于等于 $ x $ 的可能取值的概率求和。
步骤如下：
- 列出所有可能的取值 $ x_i $ 和对应的概率 $ P(X = x_i) $
- 对于给定的 $ x $，找出所有满足 $ x_i \leq x $ 的点
- 将这些点的概率相加，得到 $ F(x) $
示例：
| $ x_i $ | 1 | 2 | 3 |
| $ P(X=x_i) $ | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
则：
- $ F(1) = 0.2 $
- $ F(2) = 0.2 + 0.5 = 0.7 $
- $ F(3) = 0.2 + 0.5 + 0.3 = 1.0 $
2. 连续型随机变量
对于连续型随机变量 $ X $，其分布函数 $ F(x) $ 是概率密度函数 $ f(x) $ 的积分：
$$
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt
$$
步骤如下：
- 确定概率密度函数 $ f(x) $
- 对 $ f(x) $ 在区间 $ (-\infty, x] $ 上进行积分
- 得到的积分结果即为 $ F(x) $
示例：
设 $ X $ 的概率密度函数为：
$$
f(x) =
\begin{cases}
2x, & 0 \leq x \leq 1 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
则：
$$
F(x) =
\begin{cases}
0, & x < 0 \\
\int_{0}^{x} 2t \, dt = x^2, & 0 \leq x \leq 1 \\
1, & x > 1
\end{cases}
$$
四、不同类型随机变量的分布函数对比表
| 类型 | 分布函数定义 | 求法 | 示例 |
| 离散型 | $ F(x) = P(X \leq x) $ | 累积概率 | $ P(X=1)+P(X=2) $ |
| 连续型 | $ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt $ | 积分概率密度 | $ \int_{0}^{x} 2t \, dt $ |
五、总结
分布函数是理解随机变量概率行为的关键工具，无论是离散还是连续型随机变量，都可以通过一定的数学方法进行求解。掌握分布函数的计算方式，有助于进一步分析随机变量的统计特性，如期望、方差等。
希望本文能帮助你更好地理解和应用分布函数。
