【韦达定律的公式】在数学中，韦达定律（Vieta's formulas）是用于描述多项式根与系数之间关系的一组公式。它由法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）提出，广泛应用于代数方程的求解与分析中。通过韦达定律，我们可以直接根据多项式的系数来推断其根的性质，而无需实际求出根的具体值。
一、韦达定律的基本概念
对于一个一般的n次多项式：
$$
P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0
$$
设其根为 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，则根据韦达定律，根与系数之间存在如下关系：
- 根的和：$x_1 + x_2 + \cdots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$
- 根的两两乘积之和：$x_1x_2 + x_1x_3 + \cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}$
- 根的三三乘积之和：$x_1x_2x_3 + \cdots + x_{n-2}x_{n-1}x_n = -\frac{a_{n-3}}{a_n}$
- ……
- 所有根的乘积：$x_1x_2\cdots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}$
这些关系可以推广到任意次数的多项式中。
二、常见多项式的韦达公式总结
| 多项式次数 | 公式名称 | 公式表达式 |
| 一次方程 | 根与系数关系 | $x_1 = -\frac{a_0}{a_1}$ |
| 二次方程 | 根的和与积 | $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ $x_1x_2 = \frac{c}{a}$ |
| 三次方程 | 根的和、两两积、积 | $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$ $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}$ $x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$ |
| 四次方程 | 根的和、两两积、三三积、积 | $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a}$ $x_1x_2 + x_1x_3 + \cdots + x_3x_4 = \frac{c}{a}$ $x_1x_2x_3 + \cdots + x_2x_3x_4 = -\frac{d}{a}$ $x_1x_2x_3x_4 = \frac{e}{a}$ |
三、应用实例
以二次方程为例：
$$
ax^2 + bx + c = 0
$$
根据韦达定律：
- 根的和为：$\frac{-b}{a}$
- 根的积为：$\frac{c}{a}$
例如，对于方程 $2x^2 - 5x + 3 = 0$，其根的和为 $\frac{5}{2}$，积为 $\frac{3}{2}$。
四、总结
韦达定律提供了一种从多项式系数直接推导出根的性质的方法，尤其在没有显式求根的情况下非常有用。它不仅简化了计算过程，也帮助我们理解多项式结构与根之间的内在联系。掌握韦达定律有助于提升代数问题的解决能力，是学习高等数学的重要基础之一。
