【向量积公式】在向量运算中，向量积（又称叉积）是一种重要的数学工具，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。向量积用于计算两个向量之间的垂直方向，并且其结果是一个与原向量都垂直的向量。本文将对向量积的基本概念、计算方法及性质进行总结。
一、向量积的基本概念
向量积是两个三维向量之间的一种乘法运算，记作 a × b，其结果是一个新的向量，该向量的方向垂直于原来的两个向量所组成的平面，大小等于这两个向量构成的平行四边形的面积。
- 定义：设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的向量积为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
二、向量积的性质
| 属性 | 描述 | ||||||
| 方向 | 垂直于 a 和 b 所在的平面，符合右手定则 | ||||||
| 大小 | a × b | = | a | b | sinθ，其中 θ 是两向量夹角 | ||
| 零向量 | 若 a 与 b 共线，则 a × b = 0 | ||||||
| 反交换性 | a × b = - (b × a) | ||||||
| 分配律 | a × (b + c) = a × b + a × c | ||||||
| 与标量乘法结合 | k(a × b) = (ka) × b = a × (kb) |
三、向量积的计算示例
假设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{vmatrix}
= (2×6 - 3×5)\mathbf{i} - (1×6 - 3×4)\mathbf{j} + (1×5 - 2×4)\mathbf{k}
$$
$$
= (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k}
= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}
$$
即：a × b = (-3, 6, -3)
四、向量积的应用
| 应用领域 | 说明 |
| 物理力学 | 计算力矩、角动量等 |
| 计算机图形学 | 确定面法线方向 |
| 电磁学 | 计算磁场与电流的关系 |
| 三维几何 | 判断向量是否共面 |
五、总结
向量积是三维空间中非常重要的运算，它不仅能够表示两个向量之间的“垂直关系”，还能通过其模长反映两向量之间的夹角信息。掌握向量积的公式及其性质，有助于更深入地理解空间中的向量关系，并在多个实际问题中发挥重要作用。
| 关键点 | 内容 |
| 定义 | 向量积是两个向量的乘积，结果为一个垂直于原向量的向量 |
| 公式 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$ |
| 性质 | 反交换性、分配律、零向量等 |
| 应用 | 力学、图形学、电磁学等 |
通过以上内容，可以系统地了解向量积的基本知识及其应用价值。
