【正切余切正弦余弦公式】在三角函数中，正切（tan）、余切（cot）、正弦（sin）和余弦（cos）是最基础且常用的四个函数。它们在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。为了便于理解和记忆，以下是对这四个函数的基本定义及其相关公式的总结。
一、基本定义
| 函数名称 | 定义式 | 说明 |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 | 在直角三角形中，角θ的对边与斜边的比值 |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 | 在直角三角形中，角θ的邻边与斜边的比值 |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 | 在直角三角形中，角θ的对边与邻边的比值 |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 | 在直角三角形中，角θ的邻边与对边的比值 |
二、常用公式
1. 基本关系式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ | 三角恒等式，适用于所有角度 |
| $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ | 与正切和余弦相关 |
| $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ | 与余切和正弦相关 |
2. 互为倒数关系
| 函数 | 互为倒数的函数 |
| tanθ | cotθ（即 $ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} $） |
| sinθ | cscθ（即 $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $） |
| cosθ | secθ（即 $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $） |
3. 诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 公式 |
| $ \sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta $ | 余角关系 |
| $ \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta $ | 余角关系 |
| $ \tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta $ | 余角关系 |
| $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $ | 奇函数性质 |
| $ \cos(-\theta) = \cos\theta $ | 偶函数性质 |
三、单位圆中的定义
在单位圆中，对于任意角度θ（以弧度为单位），可以将正弦、余弦、正切和余切定义如下：
- $ \sin\theta = y $（圆上点的纵坐标）
- $ \cos\theta = x $（圆上点的横坐标）
- $ \tan\theta = \frac{y}{x} $（当 $ x \neq 0 $）
- $ \cot\theta = \frac{x}{y} $（当 $ y \neq 0 $）
四、特殊角度的三角函数值
| 角度（°） | sinθ | cosθ | tanθ | cotθ |
| 0° | 0 | 1 | 0 | 不存在 |
| 30° | $ \frac{1}{2} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ | $ \sqrt{3} $ |
| 45° | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | 1 | 1 |
| 60° | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{1}{2} $ | $ \sqrt{3} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ |
| 90° | 1 | 0 | 不存在 | 0 |
五、小结
正切、余切、正弦和余弦是三角函数中最基础的四种函数，它们之间存在多种相互关系，包括基本恒等式、互为倒数关系以及角度变换公式。掌握这些公式不仅有助于解题，还能加深对三角函数的理解。通过表格形式整理这些内容，能够更清晰地看到它们之间的联系与区别，从而提高学习效率。
