【三次根号下i什么意思】“三次根号下i”是一个数学表达式，通常表示对虚数单位 $ i $ 进行三次方根运算。在实数范围内，负数的立方根是存在的，但 $ i $ 是一个复数，因此其立方根需要通过复数的代数方法或极坐标形式来计算。
以下是对“三次根号下i”的详细解释与总结：
一、基本概念
- i 的定义：$ i = \sqrt{-1} $，是复数系统中的虚数单位。
- 三次根号：即求某个数的立方根，记作 $ \sqrt[3]{x} $，表示满足 $ x = y^3 $ 的数 $ y $。
- 三次根号下i：即求满足 $ y^3 = i $ 的复数 $ y $。
二、三次根号下i的解法
由于 $ i $ 是一个复数，我们可以使用极坐标形式进行计算：
1. 将 $ i $ 转换为极坐标形式
$$
i = e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)
$$
2. 求三次根
三次根的公式为：
$$
\sqrt[3]{e^{i\theta}} = e^{i\frac{\theta}{3}}
$$
所以，
$$
\sqrt[3]{i} = e^{i\frac{\pi}{6}} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)
$$
3. 简化结果
$$
\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}
$$
因此，
$$
\sqrt[3]{i} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i
$$
三、三次根号下i的三个解
在复数域中，任何非零复数都有三个不同的立方根。因此，除了上述主根外，还有两个其他解，它们分别是主根乘以 $ e^{i\frac{2\pi}{3}} $ 和 $ e^{i\frac{4\pi}{3}} $。
| 解 | 表达式 | 极坐标形式 | 三角函数形式 |
| 第一个解 | $ \sqrt[3]{i} $ | $ e^{i\frac{\pi}{6}} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i $ |
| 第二个解 | $ \sqrt[3]{i} \cdot e^{i\frac{2\pi}{3}} $ | $ e^{i\frac{5\pi}{6}} $ | $ -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i $ |
| 第三个解 | $ \sqrt[3]{i} \cdot e^{i\frac{4\pi}{3}} $ | $ e^{i\frac{9\pi}{6}} = e^{i\frac{3\pi}{2}} $ | $ 0 - i $ |
四、总结
“三次根号下i”指的是求满足 $ y^3 = i $ 的复数 $ y $。在复数范围内，它有三个不同的解，分别对应于 $ i $ 的不同角度旋转后的值。最常用的主根是 $ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i $，而其他两个解可以通过乘以单位根得到。
五、注意事项
- 在实数范围内，没有三次根号下 $ i $ 的解，因为 $ i $ 不是实数。
- 三次根号下 $ i $ 的解必须在复数范围内讨论。
- 复数的根具有周期性和对称性，因此存在多个解。
如需进一步了解复数的根或其他数学问题，欢迎继续提问。
