【正交矩阵的性质及特征】正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。它不仅具有良好的代数结构，还具备一些特殊的几何意义。本文将从正交矩阵的基本定义出发，总结其主要性质与特征，并通过表格形式进行归纳和对比。
一、正交矩阵的定义
设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的实矩阵，若满足：
$$
A^T A = I
$$
其中 $ A^T $ 表示矩阵 $ A $ 的转置，$ I $ 是单位矩阵，则称 $ A $ 为正交矩阵。
换句话说，正交矩阵的列向量（或行向量）构成一组标准正交基，即每个向量长度为1，且任意两个不同向量之间的点积为0。
二、正交矩阵的主要性质
| 性质编号 | 性质描述 | ||||
| 1 | 若 $ A $ 是正交矩阵，则 $ A^{-1} = A^T $，即正交矩阵的逆等于其转置。 | ||||
| 2 | 正交矩阵的行列式值为 $ \pm 1 $。 | ||||
| 3 | 正交矩阵的乘积仍为正交矩阵，即若 $ A $ 和 $ B $ 都是正交矩阵，则 $ AB $ 也是正交矩阵。 | ||||
| 4 | 正交矩阵的转置仍是正交矩阵，即 $ A^T $ 也是正交矩阵。 | ||||
| 5 | 正交矩阵的列向量两两正交且单位化，即它们构成一组标准正交基。 | ||||
| 6 | 正交矩阵保持向量的长度不变，即对任意向量 $ x $，有 $ \ | Ax\ | = \ | x\ | $。 |
| 7 | 正交矩阵保持向量间的夹角不变，即对任意非零向量 $ x, y $，有 $ \cos\theta = \frac{x^T y}{\ | x\ | \ | y\ | } $，与 $ (Ax)^T (Ay) $ 相同。 |
三、正交矩阵的特征
| 特征编号 | 特征描述 |
| 1 | 正交矩阵的特征值位于单位圆上，即所有特征值的模为1。 |
| 2 | 正交矩阵的特征值可能是实数或共轭复数对。 |
| 3 | 对于实正交矩阵，若存在复数特征值，则其必成共轭对出现。 |
| 4 | 正交矩阵可以对角化为一个单位矩阵与旋转或反射操作的组合。 |
| 5 | 正交矩阵在几何上表示的是刚体变换（如旋转、反射等），不改变空间的距离和角度。 |
四、正交矩阵的典型例子
- 单位矩阵：显然满足正交条件。
- 旋转矩阵：如二维平面中的旋转矩阵：
$$
R(\theta) = \begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
$$
- 反射矩阵：如关于某轴的反射矩阵，也属于正交矩阵。
五、小结
正交矩阵是一种具有特殊代数结构和几何意义的矩阵，其核心特性包括：列向量正交且单位化、逆等于转置、保持向量长度与夹角不变等。在实际应用中，正交矩阵常用于数据压缩、信号处理、计算机图形学等领域，因其能有效保持信息的完整性与结构的稳定性。
通过上述总结与表格对比，我们可以更清晰地理解正交矩阵的本质及其重要性。
