【什么时候有界数列】在数学中，数列的有界性是一个重要的性质。一个数列是否是有界的，直接影响其收敛性与极限的存在性。理解“什么时候有界数列”有助于我们更好地分析数列的行为。
一、
数列的有界性指的是该数列的所有项都在某个有限的范围内。也就是说，存在一个正数 $ M $，使得对于所有的 $ n $，都有 $
要判断一个数列是否为有界数列，可以从以下几个方面入手：
- 单调有界定理：如果一个数列是单调递增（或递减）且有上界（或下界），则它必然是有界的。
- 极限存在性：如果一个数列存在极限，则它一定是有界的。
- 通项公式分析：通过分析数列的通项公式，可以判断其是否趋于某个常数或震荡于某个范围。
- 特殊数列类型：如等差数列、等比数列、三角函数数列等，可以根据其特点判断是否为有界数列。
此外，一些常见的非有界数列包括：发散到无穷大的数列、振荡无界的数列（如 $ a_n = (-1)^n \cdot n $）等。
二、表格：什么时候有界数列
| 情况描述 | 是否有界 | 说明 |
| 数列单调递增且有上界 | 是 | 根据单调有界定理，有界 |
| 数列单调递减且有下界 | 是 | 同上，有界 |
| 数列存在极限 | 是 | 极限存在意味着有界 |
| 数列通项为 $ a_n = \sin(n) $ | 是 | 正弦函数值域为 [-1, 1]，故有界 |
| 数列通项为 $ a_n = n $ | 否 | 随着 $ n $ 增大而无限增大 |
| 数列通项为 $ a_n = (-1)^n \cdot n $ | 否 | 虽然振荡，但绝对值无限增大 |
| 数列通项为 $ a_n = \frac{1}{n} $ | 是 | 随 $ n $ 增大趋向于 0，有界 |
| 数列通项为 $ a_n = \sqrt{n} $ | 否 | 随 $ n $ 增大而无限增大 |
| 数列通项为 $ a_n = \cos(n) $ | 是 | 余弦函数值域为 [-1, 1]，有界 |
三、结论
数列是否为有界数列，主要取决于其项的变化趋势和是否有明确的上下界。通过分析数列的单调性、极限、通项表达式等方法，我们可以较为准确地判断其是否为有界数列。理解这一点，有助于我们在后续的数列求和、收敛性分析等方面做出更合理的判断。
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