【向量内积公式】向量内积是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程、计算机科学等多个领域。它描述了两个向量之间的“夹角”和“相似程度”，并能用于计算投影、能量等物理量。本文将对向量内积的定义、性质及计算公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。

一、向量内积的定义

向量内积（也称为点积或标量积）是指两个向量在空间中相互作用所得到的一个标量值。设向量 a = (a₁, a₂, ..., aₙ) 和向量 b = (b₁, b₂, ..., bₙ)，它们的内积记作 a · b，其公式为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n

$$

此外，向量内积也可以用向量的模长与夹角表示为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \mathbf{b} \cos\theta

$$

其中，θ 是两个向量之间的夹角，a 和 b 分别为向量 a 和 b 的模长。

二、向量内积的性质

向量内积具有以下基本性质：

三、向量内积的计算示例

以二维向量为例，设 a = (2, 3)，b = (4, -1)，则其内积为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \times 4 + 3 \times (-1) = 8 - 3 = 5

$$

若使用角度法计算，假设两向量夹角 θ = 60°，且 a = √(2² + 3²) = √13，b = √(4² + (-1)²) = √17，则：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sqrt{13} \times \sqrt{17} \times \cos(60^\circ) = \sqrt{221} \times 0.5 ≈ 7.42

$$

注意：实际计算中，通常直接使用坐标相乘求和的方式更为简便。

四、向量内积的应用

- 几何学：计算两向量的夹角、判断是否垂直（内积为零）。

- 物理学：计算力在某方向上的投影，如功的计算。

- 机器学习：用于衡量向量之间的相似性，如余弦相似度。

- 信号处理：用于信号匹配、滤波等操作。

五、总结

向量内积是连接向量空间与标量运算的重要工具，其公式简单但应用广泛。掌握其定义与性质，有助于更深入地理解向量间的几何关系和实际应用。